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高校数学の基礎（６）で少し書きましたが、ここではもう少し詳しく記述しておきます。
円と円の交点計算をするのに連立方程式を解く場合、双方とも２次式であるため、連立方程式を解くのも一苦労してしまいます。ここでも回転写像を利用して解く事を考えます。
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①まず、２円の中心点を結ぶ直線を考え、その傾き角度を算出します。
A := ArcTan2(y2-y1,x2-x1); |
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②点(x1,y1)を中心に角度A分、逆回転したと考えます。
(x2,y2)の回転後が(x2',y2')
です。
③円の中心点間距離ｄを計算します。
距離ｄ＝｜x2'－x1｜
このｄが円の半径（r1＋r2）に等しい場合は、２円は接する事になり、(r1＋r2)よりも小さい時には２交点、(r1＋r2)よりも大きい時は交点無し、となります。
また、ｄが｜r1－r2｜に等しい場合は、２円は内接する事になり、｜r1－r2｜よりも小さい時は交点無しとなります。同心円の場合（ｄ＝０）も交点無しとなります。
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④接する場合（１交点である場合）、r1≧r2 ならば (x1+r1,y1)、r1＜r2 ならば (x1+d-br,y1)となります。
２交点の場合には、
A＋B＝d、A2＋h2＝r12、B2＋h2＝r22
これより、
A2－B2＝r12－r22
A2－(d－A)2＝r12－r22
A2－(d2－2dA＋A2)＝r12－r22
－d2＋2dA＝r12－r22
2dA＝d2＋r12－r22
A＝(d2＋r12－r22)／2d
h＝√(r12－A2)
となりますので、交点は、
(x1＋A,y1±h)
となります。 |
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⑤接点又は交点を
点(x1,y1)を中心に角度A分、回転した点の座標が、求める点となります。 |
回転写像は、
| （ | cosθ -sinθ | ） θ：回転角 |
| sinθ cosθ |
つまり
x'＝x×cosθ－y×sinθ
y'＝x×sinθ＋y×cosθ
ですが、これは中心(0,0)での回転ですので、点(x0,y0)を中心に回転する場合には、
x'＝x0＋(x－x0)×cosθ－(y－y0)×sinθ
y'＝y0＋(x－x0)×sinθ＋(y－y0)×cosθ
となります。
| 回転写像を利用して、２円の交点を表示する簡単なサンプルプログラムです。絵は、TImageを配置して、そこに描きます。10ドットを１単位とします。 |
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