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高校数学の基礎（６）で少し書きましたが、ここではもう少し詳しく記述しておきます。
線と円の交点計算をするのに連立方程式を解く場合、片方が２次式であるため解が２つ想定されます。そのため、連立方程式を解くのも一苦労してしまいます。ここでは、回転写像を利用して解く事を考えます。
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①まず、線の傾き角度を算出します。
A := ArcTan2(y2-y1,x2-x1); |
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②点(x1,y1)を中心に角度A分、逆回転したと考えます。
(x2,y2)の回転後が(x2',y2')
(xc,yc)の回転後が(xc',yc')
です。 |
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③線と円の中心の距離ｄを計算します。
距離ｄ＝｜yc'－y1｜
このｄが円の半径 rc に等しい場合は、円と線は接する事になり、rc よりも小さい時には２交点、rc よりも大きい時は交点無し、となります。
④接する場合には、その接点は(xc',y1)となります。２交点の場合には、
(xc'－√(rc2-d2),y1)
(xc'＋√(rc2-d2),y1)
となります。 |
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⑤接点又は交点を
点(x1,y1)を中心に角度A分、回転した点の座標が、求める点となります。 |
回転写像は、
| （ | cosθ -sinθ | ） θ：回転角 |
| sinθ cosθ |
つまり
x'＝x×cosθ－y×sinθ
y'＝x×sinθ＋y×cosθ
ですが、これは中心(0,0)での回転ですので、点(x0,y0)を中心に回転する場合には、
x'＝x0＋(x－x0)×cosθ－(y－y0)×sinθ
y'＝y0＋(x－x0)×sinθ＋(y－y0)×cosθ
となります。
| 回転写像を利用して、直線と円の交点を表示する簡単なサンプルプログラムです。絵は、TImageを配置して、そこに描きます。10ドットを１単位とします。 |
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