数学とＣＡＤ 高校数学の基礎（６）
★図形の基礎
●直線と平面
直線の決定：異なる２点が成立すれば、１つの直線が決まる。
平面の決定：・１直線上にない３点が成立すれば
・１直線とその直線上にない１点が成立すれば
・交わる２直線が成立すれば
・平行な２直線が成立すれば
１つの平面が決まる。
●角の２等分線：１つの角を２等分する直線
【作図手順】
１）点Ｏを中心に円を描く
線ＯＡと円の交点を①
線ＯＢと円の交点を②
２）①を中心に円を描く
②を中心に円を描く(上記と同半径)
３）２の２円の交点を③
４）点Ｏと③を結ぶ直線が、角の２等分線
プログラム：∠AOBを計算し、その半分の角度αを出して、点Ｏを通り、傾き角度αの直線を算出する
●線分の垂直２等分線：線分の中点を通り、線分に垂直な直線
【作図手順】
１）点Ａを中心に円を描く ……………………①
点Ｂを中心に円を描く(上記と同半径) …②
２）①と②の交点を③、④とする
３）③、④を結ぶ直線が、線分の垂直２等分線
プログラム：線ABの中点を計算、線ABの傾き角度αを出し、垂直であるという事はα＋90°であるので、中点を通り、傾き角度α＋90°の直線を算出する
●直線上にない点を通る垂線
【作図手順】
１）点Ｐを中心に円を描く ………①
２）①と線分ABの交点を②、③とする
３）②を中心とした円を描く
③を中心とした円を描く(上記と同半径)
４）３）で描いた２円の交点を④とする
５）点Ｐと④を結んだ直線が、垂線
プログラム：線ABの傾き角度αを出し、垂直であるという事はα＋90°であるので、点Ｐを通り、傾き角度α＋90°の直線を算出する
※線の傾き角度は、tan
-1
を使って算出出来る。
x
2
＋y
2
＝L
2
∴ L＝√(x
2
＋y
2
)
sinα＝y÷L
cosα＝x÷L
tanα＝y÷x
∴ α＝tan
-1
(y÷x)
なお、直線の方程式は、
Ｙ－y1＝(y2-y1)／(x2-x1)・(Ｘ－x1)
の式より、x1=0,y1=0,x2=x,y2=yとすると
Ｙ＝y/x・Ｘ
※ Ｙ＝Ｘtanα
※中点の座標は、（(Ax+Bx)/2,(Ay+By)/2）で算出出来る。
※線と線の交点の計算については、
★関数
連立方程式の解
で既に述べた通り。線と円の交点の計算、円と円の交点の計算については、連立方程式を解けば良いですが、プログラムは煩雑になります。交点計算によって上記の直線を作図するプログラミングも可能ですが、プログラムが煩雑になるでしょう。
交点２、交点１（接する）、交点０（無し）があるので注意する事。直線と円の連立方程式を解けば交点は計算可能。
・Y＝aX＋b
・(X-x1)
2
＋(Y-y1)
2
＝r
2
代入：(X-x1)
2
＋(aX+b-y1)
2
＝r
2
展開：X
2
-2x1X+x1
2
＋(aX)
2
+2a(b-y1)X+(b-y1)
2
＝r
2
整理：(a
2
+1)X
2
＋(2a(b-y1)-2x1)X＋x1
2
+(b-y1)
2
-r
2
＝0
A＝(a
2
+1)、B＝(2a(b-y1)-2x1)、
C＝x1
2
+(b-y1)
2
-r
2
と置き換えると、
AX
2
＋BX＋C＝0 なので
X＝（-B±√(B
2
-4AC)）／(2A)
Y＝aX+b に入れると２解が求まる
注意①：(B
2
-4AC)＜0 の時、解は無し
注意②：垂直線 X=c の時だけ別途計算が必要
(c-x1)
2
＋(Y-y1)
2
＝r
2
(Y-y1)
2
＝r
2
－(c-x1)
2
Y-y1＝±√（r
2
－(c-x1)
2
）
Y＝±√（r
2
－(c-x1)
2
）＋y1
交点２、交点１（接する）、交点０（無し）があるので注意する事。円と円の連立方程式を解けば交点は計算可能。
なお、交点２か交点１か交点０かは、２円の中心点間の距離を計算し、それが半径の和とどのような関係にあるかで判別出来る。
d＝√（(x2-x1)
2
+(y2-y1)
2
）
d＜r1＋r2 ： 交点２
d＝r1＋r2 ： 交点１
d＞r1＋r2 ： 交点０
・(X-x1)
2
＋(Y-y1)
2
＝r1
2
………①
・(X-x2)
2
＋(Y-y2)
2
＝r2
2
………②
上記のようにそのまま連立方程式を解こうとするとかなり苦しい作業になりますが、問題をもっと簡単に考えて計算を易しくしましょう。上記の線・円、円・円の関係を回転させます。
こうしてやれば、交点は、三角関数を使えば簡単にわかります。交点を計算したら、元の逆の回転を施してやればＯＫです。回転の処理は、写像を利用すれば可能です。
（
cosθ -sinθ
）
sinθ cosθ
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